以前各章讨论的对象均为单自由度体系，它的运动仅需一个运动方程来描述，求解这个运动方程，就能够获得单自由度体系的位移、速度和加速度以及能量等。

  工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如多层建筑结构、大跨桥梁结构、空间网架结构等等。为合理反映振动过程中惯性力的影响，需要采用更多的自由度描述结构体系的质量分布并确定体系的变形。

  等效单自由度方法：将多自由度体系化为等效的单自由度问题求解。例如多层结构抗震设计时采用的简化分析方法—基底剪力法。

  化为一个单自由度问题进行初步分析。如果形函数取得较好，而外荷载又按某一简单形式分布，则用等效单自由度方法也能够获得相当好的近似解。

  但当结构体系复杂或外荷载变化复杂时，用等效的单自由度方法得到的解有几率会使相当大的误差。这时就必须直接采用多自由度体系分析方法解决实际问题，即一定要采用更多自由度来描述体系的运动状态。

  基于矩阵位移法的直接平衡方法和基于变分原理的Lagrange方法应用更广泛一些。

  直接平衡方法应用动平衡的概念以矩阵的形式建立多自由度体系的运动方程，概念直观，易于通过各个结构单元矩阵(刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵)建立整个结构体系的相应矩阵，进而建立体系的运动方程，便于计算机编程。

  而对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问题，采用运动的Lagrange方程可能更有效。

  在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方程的直接平衡法的基本概念和实施技术。

  将直接给出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵和质量阵。我们大家可以直接应用这些矩阵建立运动方程，最主要的是知道这些矩阵中每一个元素的物理意义。

  本节不详细的介绍有关单元矩阵的建立，而单元刚度阵、质量阵和阻尼阵的建立将在后面有限元法和具有分布参数系统分析方法中逐步得到学习。

  假设一N层层间结构，自由度为N，各楼层集中质量mi，外荷载pi,层间刚度ki,各层的水平运动为ui,i=1,…,N。

  即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自由度加速度为零时，所需要的力。

  如果柱的质量不能忽略，则{M}的非对角线元素将不恒为零。柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中为柱的质量线直接平衡法

  若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可以建立如下阻尼力向量的计算公式：

  其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，为速度向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物理意义：

  结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如与刚度阵或质量阵成正比等。

  如果进一步考虑轴力的影响，例如由结构自重的存在引起的附加（弯矩）二阶力，这些附加荷载也可以用矩阵形式表达：

  以上给出了正常的情况下多自由度结构体系的运动方程的矩阵表达形式，建立这一矩阵方程的关键是建立体系的质量、阻尼和刚度矩阵。

  体系的总体刚度和质量矩阵可分别由单元的刚度阵和质量阵总装得到，下面不加推导地给出与横向线位移和转角自由度相应的梁单元的刚度和质量矩阵。下图给出了梁单元及其自由度，即梁端横向位移和转角。梁端位移向量定义如下，

  当采用集中质量阵，而结构体系的自由度又存在转角时，转动自由度的惯性力为0，此时能够使用静力凝聚法，消去无质量的自由度。若平动和转动自由度分别用下标t和θ区分，则采用集中质量方法时，存在转角自由度体系的运动方程可写为如下形式，

  静力凝聚法和动力自由度的定义相互呼应。当体系的某一自由度无质量时，与其相应的惯性力为0，根据动力自由度的定义，这些自由度不属于动力自由度，在体系动力分析中可以不考虑（使之不出现），而静力凝聚法正是将此目标实现，使得体系的运动方程仅存在动力自由度项。

  我们在第二章中介绍了Lagrange运动方程，但没有实际应用。用Lagrange运动方程来建立结构体系的运动控制方程对那些不易直接用动平衡方法建立运动方程的问题有时是特别有效的，特别是当结构动力分析时采用了不易直观判断的广义坐标时更是如此。例如，用幂级数展开烟囱或等效高层结构的横向位移

  将T、V、δWnc代入Hamilton原理，对动能项采用分部积分，再利用变分任意性，可得到Lagrange运动方程。

  只要能用广义坐标给出体系总动能T和位能V的表达式，以及确定相应于每一广义坐标的非保守力Qi，就可以直接由Lagrange运动方程建立结构体系的运动控制方程。

  下面通过算例来介绍如何应用Lagrange方程，从算例中能够正常的看到，用Lagrange运动方程建立的运动方程不限于线 Lagrange运动方程

  算例6.1 如图所示一复合摆，摆的杆长分别为l1和l2，摆的质量分别为m1和m2，忽略杆的分布质量，采用Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。

  可以发现以上运动方程公式是高度非线 Lagrange运动方程 算例6.1

  这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆的运动方程才成为线 Lagrange运动方程

  算例6.2 如图所示，一无质量悬臂梁的一端连接一刚性块体，刚块的总质量为m，刚块上面作用均匀分布的外力

  p0 f(t), 取刚块两端的位移q1、q2为广义坐标，建立体系的运动方程。

  算例6.3 如图所示二自由度的串联弹簧—质点体系，用Lagrange法建立体系的运动方程。

  ④在结构动力分析中，外荷载可以作用在结构的任何位置，而不必须作用在动力自由度之上。当外荷载不直接作用在动力自由度之上时，荷载的影响将通过结构的弹性传递，影响到动力自由度的运动方程。

  ⑤在获得了动力自由度的运动后，结构静力自由度的运动可由动力自由度的结果求得，计算中，还应该要考虑直接施加到静力自由度之上外荷载的影响。

  下面以弯曲长梁为例，简要说明用有限个广义坐标（即有限个自由度）来近似无限自由度体系，并建立其运动方程。弯曲梁模型如图所示，材料的弹性模量E(x)，截面惯性矩I(x)，质量线密度m(x)，分布外荷载p(x, t)。

  为得到非保守力Q1，Q2 … QN，能够最终靠讨论非保守力的虚功δWnc来确定。非保守力的虚功有非保守内力（材料阻尼）虚功和外力虚功，下面分别讨论。

  非保守内力的虚功是由于材料的粘性引起的，下面分析一下其表达式。当考虑材料的阻尼时，材料的应力应变关系为

  其中，σ(t) —应力，ε(t) —应变，E—弹性模量，cs—粘性阻尼系数。

  第一项是保守力，将产生弯曲应变能，在前面已计算，后一项是由材料粘性引起的非保守力，它在任一个曲率变分（即位移变分引起的曲率）上做的虚功为

  质量阵、阻尼阵和刚度阵中的元素已由前面的公式算出，各矩阵中的元素满足：mij =mji，cij = cji，kij = kji，矩阵是对称的。如果广义坐标是离散节点的位移，即qi=ui，则用Lagrange法给出的方程与前面用直接平衡法给出的矩阵运动方程完全一样。

  以上推导中很多内容是重复的，新的最重要的部分是关于质量阵、阻尼阵和刚度阵(中各元素)的计算公式。

  当我们以后讲到有限元方法时，不难发现，它们的计算公式基本相同，即运动方程中当结构几何尺寸和材料性质给定时，不同矩阵的确定仅与形函数φi(x)有关，一旦选定了形函数，则结构体系的质量、刚度和阻尼元素就能够得到。等效的外荷载pi(t)也根据形函数定。

  静力凝聚法从理论上看是完备的，而运动约束法主要是基于对结构反应规律的经验总结和把握。

  运动约束法是结构动力分析中最常用的处理方法，例如对于框架结构，由于楼板板内刚度的影响，使结构楼层板内的相对变形远小于板外变形，这时往往采用刚性楼板假设，认为楼层在板内的变形为零，楼板在板内只发生刚体运动，每层楼板的板内自由度自由三个（两个平动加一转动）。这是典型的运动约束法。另外的一些运动约束法也常常采用，例如，主重结点法等。

  在第二章中介绍了动力自由度的概念，它与结构体系中的质量有关，即动力自由度是确定结构体系质量位置所需的独立参数的个数，这与静力问题的自由度在概念上有所不同。

  当我们建立结构体系的刚度矩阵时，常常习惯于直接利用静力问题的处理方法来离散模型和确定自由度，特别是采用有限元方法时更是如此。在很多情况下，静力自由度数目大于动力自由度,例如，在框架结构模型中，与节点平动质量相比，转动质量是相对小量，常常忽略与转角相关的转动质量。这时对于一个三维的框架结构，静力自由度（每个节点有三个平动和三个转动）是动力自由度（每节点三个平动自由度）的两倍。在进行动力分析之前，能够使用静力凝聚将与转角有关的自由度消去，这将有效缩减结构体系的自由度数目，提高计算效率和降低计算量。

  同时使用运动约束法和静力凝聚法。实际问题处理中往往采用混合方法以进一步缩减体系自由度。

  进行自由度缩减的理由：自由度的缩减可以轻松又有效提高体系动力计算效率和减少计算量。

  以所需工作量较大的静力凝聚法为例，进行静力凝聚所需的工作量约为总自由度的2次方，而动力计算的工作量约为自由度的3次方。

  对于一般三维框架结构问题：采用静力凝聚法时结构分析总的计算工作量为：N2＋(N/2)3；不采用时结构分析总的计算工作量为：N3。前者是后者的1/8+1/N。

  可见若自由度N≥100，则前者完成结构动力反应分析所需总的计算工作量约为后者的1/8。