工程中所涉及的结构一般都是多自由度的，例如多层建筑结构、大跨桥梁结构、空间网架结构等等。

  为合理反映振动过程中惯性力的影响，需要采用更多的自由度描述结构体系的质量分布并确定体系的变形。;

  ;设多自由度体系在进行自由振动时也是在作简谐振动，多自由度体系的振动形式可写为：

  {φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。

  上式是关于{φ}的N阶齐次线性方程组，表征了振型和自振频率的关系，称为运动方程广义特征值问题。

  ωn(n=1,2,…,N)即为体系的自振频率。其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。

  从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。;把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型

  由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值???例如令φ1n=1，才能确定其余的值。

  实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样，但其比例关系是不变的。

  所谓振型就是结构不同点(自由度)变化时的比例关系。;以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率相应于特征值，而振型即是特征向量。

  得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振频率分别写成矩阵的形式，

  以上三个代数方程中仅有两个是独立的，能够使用任意两个方程求得φ1n和φ2n，通过观察发现，用第一个方程和第三个方程求解将避免求联立方程组。

  从以上给出的振型图看，对层间模型，振型特点为：一阶振型不变符号，二阶振型变一次符号，三阶振型变二次符号。

  以上给出的振型的求解公式是解耦的，不用求联立方程组，这只有当结构是层间模型时，即特征方程的系数矩阵是三对角阵时才能轻松实现，正常的情况下，当特征方程的系数矩阵不为三对角阵时，必须解联立方程组才可获得结构的振型。;算例10-2

  确定由两个梁单元构成的结构的自振频率和自振周期，梁的弯曲刚度均为EI。忽略轴向变形，采用集中质量法,梁的质量集中到梁端,而梁成为无质量梁。

  结构振型图：;模态分析(特征值/振型分析);;将物理坐标以振型坐标表述;振型参与系数;定义振型参与系数γj;§10-3多自由度体系的动力特性

  （1）某一振型的惯性力不会在其他振型上做功，从能量的角度来说，某一振型做简谐振动的能量不会转移到其他振型上。

  所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。

  当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。因此对N个自由度体系，正常的情况下有个N个自振频率。

  多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。;多自由度体系的自由振动：简单总结

  与单自由度结构体系相比，两者之间相同的是都存在自振频率，但多自由度体系有多个自振频率，N个自由度，则一般存在N个自振频率。

  新的内容是出现了振型的概念，对应N个自振频率。所谓振型就是结构按某一阶自振频率振动时，结构各自由度变化的比例关系。

  借助于计算机，已发展了多种行之有效的数值算法求解大规模结构体系的自振频率和振型（称模态分析）。

  如果外力频率等于结构某阶自振频率时，多自由度系统也会发生与单自由度系统类似的共振现象。

  是结构振动反应中最容易发生的变形形态，而第一阶振型又是所有振型中最易于出现的。

  ;模态(振型、自振特性)分析的实例演示：;（1）模态分析解析解;（2）软件分析(MIDAS、SAP2k、OpenSees)

  (1)表1中每层的刚度是单根柱子假设两端固定计算得来的，3根柱子并联，即K=3*12EI/l^2。

  (2)由于刚度计算时假设两端固定，故在建模时需约束3个质点出的转动自由度。

  (3)软件分析时一般输入的是截面和材料特性，但本例中是3根柱子并联，故一定要通过刚度一致的等效计算，将3根柱子划算成单根柱子的截面。本例中，换算后的柱子截面大小为0.658m×0.658m。

  分别采用梁单元和弹簧单元建立模型，弹簧单元的好处在于不要输入截面和材料特性，直接输入每层的刚度即可。

  表3为振型2D模型计算得到的振型坐标，通过对顶点归一化，如表4所示，可见与解析解完全一致。振型如图3所示(源自MIDAS)。;Matlab求解程序：;Matlab求解程序：;模态(振型、自振特性)分析的注意事项：

  振型：结构体系自由振动时的位移形态。N个自由度体系有N个不同的振型。当结构按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为振型。

  自振频率（周期）：当结构按某一振型振动时的频率。对N个自由度体系，正常的情况下有个N个自振频率。

  结构的振型和自振频率是结构的固有特性，因此在介绍结构动力特性时，首先提及的就是结构的自振频率和振型。

  振型曲线、振型是结构振动反应中最容易发生的变形形态；模态分析是动力分析的基础，是验证动力模型正确性的常用方法

  ;第10振型;3、模态分析通常是线、周期和振型是结构的固有特性，只与[M]/[K]/边界有关;(2)自振特性(周期)

  全桥全桥+支撑;5、时程分析中Rayleigh阻尼计算时周期的取值问题;因为很少能获得阻尼比随频率变化的详情信息，因此通常假设用用于两个控制频率的阻尼比相同，即ξm=ξn=ξ，对这种情况，得出简化形式给出比例系数：;

  选择的两个用于确定常数a0和a1的频率点ωi和ωj要覆盖结构分析中感兴趣的频段。

  感兴趣频段要根据作用于结构上的外荷载的频率成份和结构的动力特性考虑。;模态分析和时程分析（OpenSees）;谢谢大家！欢迎交流！

  人教版高中化学选择性必修第1册 实验活动1 探究影响化学平衡移动的因素.ppt

  TCABEE 080-2024《零碳建筑测评标准》-最终稿 - 干净版.pdf

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