将矩阵[T]代入前面的变换公式，即可求出 a1 的标（Xa1, Ya1, Za1），从 而可以求出油缸的长度 L1 为：

  计算结果出人意料，平台似乎无法只通过六条油缸进行驱动。但是，如果保持上 平台和缸筒固定不动，由球铰链的特性可知，活塞杆仍然可以相对其轴线转动； 同理，缸筒也具有同样的效应。实践证明，这种转动并不影响上平台的空间运动 姿态，因此属于局部自由度。 在六自由度运动平台的实际设计中，由于球铰链 的刚度差， 结构不稳定， 所以一般采用万向节铰链 （如 图 2 所示，约束为 4）来代替图 1 中的球铰链，则自由 度 M 为：

  天津工程机械研究院 杨永立 摘要： 本文分析了六自由度运动平台分别采用球铰链和万向节铰链进行连接 时的自由度，运用欧拉角、旋转变换的方法推导出位置反解方程，介绍了数值迭 代法进行位置正解的过程。 关键词：并联，局部自由度，位置反解，位置正解。

  1. 简介 运动平台按结构形式可分为串联和并联两大类。与串联形式相比，并联形式 具有刚度大、承载能力强、结构简单、运动负荷小、能实现包括横移、纵移、升 沉等多个自由度运动等特点。同时，串联形式的优点也很明显，其具有运动空间 大，测量精度高，运动、受力分析相对简单、控制、测量的实现相对容易，且每 个自由度都能独立运动等特点。 六自由度运动平台 （如图 1 所示） 是由六条油缸通过万向节铰链 （或球铰链） 将上、下两个平台连接而成，下平台固定在基础上，借助六条油缸的伸缩运动， 完成上平台在三维空间六个自由度（X， Y，Z，α ，β ，γ ）的运动，从而能够 模拟出各种空间运动姿态。 2. 自由度的确定 若在三维空间有 n 个完全不受约束 的物体，任选其中一个作为固定参照物， 因每个物体相对参照物都有 6 个运动自 由度， n 个物体相对参照物共有 6(n-1) 则 个运动自由度。若在所有物体之间用运 动副联接起来组成机构， 设第 i 个运动副 的约束为 ui（1 到 5 之间的整数） ，如果 运动副的总数为 g，则机构的自由度 M 为：

  参考文献： [1]北京亿美博科技有限公司：杨世祥 杨 涛，北京大学：徐悦桐， 《大型数 字式六自由度运动平台的开发》 ，发表在《工业数字化先锋》 。 [2]秦皇岛燕山大学：黄真、孔令富、方跃法， 《并联机器人机构学理论及控 制》 ，北京：机械工业出版社，1997。 [3]林成森， 《数值计算方法》 ，北京：科学出版社，2001。

  其中[T]是关于α 、β 、γ 的旋转变换矩阵，公式中只有矩阵[T]未知，下面就来 求该旋转变换矩阵。

  3.2 位置正解（顺向解） ： 已知机构输入件的位置，求解机构输出件的位置和姿态称为机构的位置正 解。 由于六自由度运动平台是并联机构，直接测量平台的六个自由度的空间姿态 相当困难， 但可以通过位移传感器测出每条油缸的长度，再经过位置正解间接求 出平台的空间姿态。到目前为止，还没有直接的正解方程式，只能采用数值迭代 的方法， 利用计算机快速运算的特点来逼近求解平台姿态。目前所提出的迭代求 解的方法很多， 本文所采用的是牛顿法，其基本原理就是将非线性方程组变成线 性方程组，求出近似解，然后在此近似解基础上进一步迭代，逐步逼近非线性方 程组真解。由位置反解方程组可得： f1(X，Y，Z，α ，β ，γ )=L12 – [( Xa1–XA1)2( Ya1–YA1)2( Za1–ZA1)2]=0 f2(X，Y，Z，α ，β ，γ )=L22 – [( Xa2–XA2)2( Ya2–YA2)2( Za2–ZA2)2]=0 „ „ „ „ „ „ „ „

  利用上述公式计算一下如图 1 所示运动平台(采用球铰链)的自由度数。将油 缸分解为缸筒和活塞杆，则总的构件数 n=14，油缸与上下平台之间的连接为 12 个球铰链（约束为 3） ，缸筒和活塞杆构成 6 个既能相对移动，又可以相对转 动的运动副（约束为 4） ，则平台的自由度 M 为：

  图 2 万向节铰链 3. 六自由度运动平台空间姿态的解算 要实现对平台空间姿态的控制和测量，必须掌握它两个方向上的解算方法， 即位置反解和位置正解。 3.1 位置反解（逆向解） ： 已知输出件的位置和姿态， 求解输入件的位置称为机构的位置反解。在运动 平台的实际应用当中，用户所给定的一般都是平台的六个空间姿态参数 X，Y， Z，α ，β ，γ ，然而要实现对平台的控制，需要的是六条油缸的长度 L1、L2„ L6，这正好是已知输出求输入，属于位置反解。也就是说，要实现对平台空间姿 态的控制，就必需推导出平台的位置反解方程。 如图 1 所示， 在上平台建立动坐标系 o-xyz， 在下平台建立标系 O-XYZ，

  求解方程组便可以得到 Xk1。选择适当的初始点 X0（如：X0= (0,0,0,0,0,0)）和终 止条件（如：Xk1- XkE，其中 E 为所求解的精度） ，经过多次迭代便可求出满 足精度要求的 X，Y，Z，α ，β ，γ 值。 4. 结论 本文运用 SolidWorks 软件建立了六自由度运动平台的三维模型（如图 4 所 示），并构造了与图 3 对应的欧拉角坐标系（如图 5 所示），分别输入油缸的长 度和平台的空间姿态参数， 经验证，本文所述正解和反解方法的计算结果均符合 要求。

  那么，上平台的运动可分解为随 o-xyz 坐标原点 o 沿 O-XYZ 三个坐标轴方向上 的平移（X、Y、Z），以及绕坐标轴的旋转（α ，β ，γ ）。为了避免发生角度 间的“耦合”，一般都会采用欧拉角来描述刚体的旋转状态，而欧拉角的定义又随旋 转次序的不同而不同。本文将欧拉角定义为依次绕 z 轴旋转γ ，绕 y 轴旋转β ， 绕 x 轴旋转 α 。 下平台各铰点 A1 、A2、„A6 的坐标（ XA1,YA1,ZA1 ）、 （XA2,YA2,ZA2 ）„（XA6,YA6,ZA6 ）和上平台各铰点 a1、a2、„a6 的动坐标 （xa1,ya1,za1）、（xa2,ya2,za2）„（xa6,ya6,za6）为已知，只要求出对应姿态参数 X， Y，Z，α ，β ，γ 的上平台各铰点的标（Xa1,Ya1,Za1）、（Xa2,Ya2,Za2）„ （Xa6,Ya6,Za6），运用两点间距离公式便可以求出 L1、L2„L6。 以 A1 和 a1 为例来计算与其相连的油缸的长度 L1。在如上所述对运动进行 分解的情况下，标（Xa1,Ya1,Za1）和动坐标（xa1,ya1,za1）有如下变换公式：